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非線性方程的數值解法(共14頁).doc


文檔分類:高等教育 | 頁數:約14頁 舉報非法文檔有獎
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《 計 算 方 法 》
法,Gauss-Newton 法等,李,莫&祁詳細介紹了一些適合在計算機上求解的有效算法,如Broyden 算法,以及近十幾年來發展的新方法,如區間迭代法,單調迭代法和單純形法等.
論文的結構與研究方法
:綜合當前各類非線性方程的數值解法,通過比較分析,二分法,迭代法,牛頓——雷扶生方法,迭代法的收斂階和加速收斂方法,解非線性方程的插值方法,這以上五種的算法應用對某個具體實際問題選擇相應的數值解法。
􀈔分析其優缺點􀈔并應用到具體的實際問題中。
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3.利用計算機MATLAB 語言對非線性方程的數值解法進行程序設計。
研究的基本思路是結合目標所提出的問題針對各種方法來具體分析比較􀈖
(1) 二分法 起始區間[a,b]必須滿足f(a)與f(b)符號相反的條件。二分法的第一部是選擇中點c=(a+b)/2,然后分析可能存在的三種情況如果f(a)和f(c)符號相反,則在區間[a,c]內存在零點。如果f(c)和f(b)符號相反􀈔則在區間[c,b]內存在零點。如果f(c)=0,則c是零點。
(2)迭代法 迭代是指重復執行一個計算過程,直到找到答案。首先需要有一個用于逐項計算的規劃或函數g(x),并且有一個起始po。然后通過迭代規則k 􀀃1 p =g( k p ),可得到序列值{ k p }。
(3)牛頓——雷扶生法 如果f(x) f ‘(x)和f "(x)在根p 附近連續則可將它作為f(x)的特性,用于開發產生收斂到根p 的序列{ k p }的算法。而且這種算法產生序列{ k p }的速度比二分法快。牛頓——雷扶生法依賴于f’(x)和f " (x)的連續性,是這類方法中已知的最有用和最好的方法之一。
(4)迭代法的收斂階和收斂方法、割線法只計算f(x)不計算f ’(x)􀈔而且在單根上的收斂階R 1.。割線法比牛頓法收斂速度慢一些􀈔牛頓法的收斂階為2。當p 是一個M 階根時􀈔需要更好的求根技術以獲得比線性收斂更快的速度。最終結果顯示􀈔通過對牛頓法進行改進􀈔可使其在重根的情況下的收斂階為2。加速收斂方法有
Aitken 加速法和Steffensen 加速法。Steffensen 算法是促使迭代加速收斂的有效算法
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,但該算法每算一步,需兩次迭代􀈔,其效率不夠高。
(5) 解非線性方程的插值方法 Lagrange 插值公式需要進行提高插值多項式次數的插值計算是不方便的。這些方法它們各有優缺點􀈖
二分法的優點是對函數f(x)的性態要求不高,只需連續即可,且計算程序簡單,能保證收斂。其缺點是收斂速度較慢􀈔且只能求實函數的實零點􀈒單重或奇數重零點。該方法一般用于確定方程根或函數實零點的粗略位置,為快速收斂的算法提供初值。Newton 法的主要優點是收斂速度快,缺點是其收斂性是局部收斂,要求初始值0 x 選在精確解* x 附近才能保證收斂。割線法迭代一次僅需計算函數值f( k x )􀈔可保留作為下次迭代用,且避免了計算導數。
第2 章 非線性方程的數值解法
滿足非線性方程f(x)=0 的解x ,稱為方程的根或零點。一般用迭代法求非線性方程的根。通常,非線性方程的根不是唯一的,而任何一種方法一次只能算出一個根。因此,在求解非線性方程時,要給定初始條件或求解范圍。根可為實數或復數,也稱為實根或復根。
二分法􀈖
二分法是求方程近似解的一種簡單直觀的方法。設函數f(x)在[a,b]上連續,且f(a)f(b)<0,則f(x)在[a,b]上至少有一零點􀈔這是微積分中的介值定理[1],也是使用二分法的前提條件。計算中通過對分區間縮小區間范圍的步驟搜索零點的位置。
二分法是對逐步搜索法的一種改進。對于有根區間[ a, b ], 如果取
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  • 上傳人xiang1982071
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  • 時間2022-03-23
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